问题1 两个整数相加时，得到的数是一个两位数，且两个数字相同；相乘时，得到的数是一个三位数，且三个数字相同，请写出所有满足上述条件的两个整数。

分析与解 两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九个，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如33=1+32=2+31=3+30=……=16+17，共有16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了。可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每个数都是111的倍数，而111=37×3，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37或37的倍数，但只能是37的2倍（想想为什么？）

　　111=37×3 222=37×6=74×3

　　333=37×9 444=37×12=74×6

　　555=37×15 666=37×18=74×9

　　777=37×21 888=37×24=74×12

　　999=37×27

　　把两个因数相加，只有（74+3=）77和（37+18=）55的两位数字相同。所以满足见意的答案是74和3，37和18。

问题2 把26个玻璃球分装在a、b、c、d、e五个袋子里，每个袋子里的球数不同且都装了1个以上。用一台天平称重量，当称到装有11个玻璃球的袋子时，超重警铃就会响。看下图。

　　请按从小到大的顺序写出装入5个袋中玻璃球的数量的组合（例如：1、3、5、7、10），并写出所有的组合。

分析与解 根据题意，a、b、c、d、e袋中装的玻璃球的数量各不相同。a、b、c、d、e五个袋子里共装有26个玻璃球，这26个玻璃球的重量应是相同的，所以五个袋子的重量各不相同。用一台天平称重，当称到装有11个玻璃球的袋子时，超重警铃就会响，这一条件，应理解为天平称得的玻璃球个数是11或多于11个时，超重警铃就会响。从给出的条件可知：

　　比较（2）、（3）、（4）式可知，a＜b，a＜d。

　　由（1）+（3），（1）+（4），（5）式可得：

　　由上面的三个式子可知，b、d两袋中球的数量是4或3或2或1个，但由于a＜b，a＜d，所以a袋中球的数量是2或1个，b、d两袋中的球只能是4或3或2个。进一步由（2）、（3）、（4）式可知，c袋中球的数量只能是8或9个。

　　（1、2、3、9、11）（1、2、4、9、10）

　　（1、3、4、8、10）（2、3、4、8、9）

问题3 把6cm×10cn的长方形沿点线分割成4个图形，请按下面两个要求分割。

　　①分割后的4个图形，面积可大可小，但它们应该互为相似形；

　　②分割后的4个图形，可以有面积相等的，但不能都是面积相等的图形。

　　请回答出4种分割方法，并分别在解答栏中用实线画出（翻转后如果同另一种分割重叠的话，将看做是同一种分割方法）。

分析与解 先来解释一下什么是相似形。把一个多边形的各边都扩大或缩小相同的倍数后与另一个多边形的每一对应边都完全重合，这样的两个多边形就是相似形。例如，所有的等边三角形都是相似的，所有的正方形都是相似的。

　　把大长方形沿点线分割成4部分，可以将其分成四个长方形。根据长方形长与宽的不同比值，结合题意，枚举出每一类可能分割出的长方形，看用哪一类中的4个长方形（面积不同的）能拼出6cm×10cm的长方形（为了叙述方便，下面省去单位）。

　　（一）1×n形（即长方形长与宽的比是1：n，n是整数）

　　（l）最小的长方形是1×1，与它相似的长方形有2×2，3×3，4×4，5×5，6×6。

　　可以分割出6×6的长方形（见图1）。

　　不能分割出5×5的长方形（见图2），因为不论把5 × 5的长方形放在6 × 10的长方形中的哪一位置，在这个5×5的长方形的上边（或下边）的5个小正方形，只能分割成5块1×1的长方形，这显然不合题意。

　　分割出的长方形中最大的不可能是4×4或更小的。因为（4 × 4）× 4= 64＞ 6 × 10，（4 × 4） × 3+（3 × 3）×1=57＜ 6 × 10。

　　（2）最小的长方形是1×2，与其相似的长方形有2×4，3 × 6，4 × 8，5 × 10。

　　不能分割出5×10的长方形（分析同（1）中 5×5）。

　　也不能分割出4×8的长方形（见图3），因为6×10-（4 × 8） ×1=32，（2 × 4）×3= 24＜32。

　　还不能分割出3×6的长方形。不能分出4个3×6的长方形，因为（3 × 6）× 4=72＞ 6 × 10。不能分出3个3×6的长方形，因为6×10-（3×6）×3=6， 1×2=2＜ 6，2 × 4 = 8＞6。不能分出2个3×6的长方形，因为60-（3×6）×2=24，（2×4）×2=16＜24，也不能分出1个 3×6的长方形，因为（3×6）×l+（2×4）×3=42＜60。

　　更不能分割出2×4或回1×2的长方形，因为（2×4） × 4=32＜ 6×10。

　　（3）最小的长方形是1×3，与其相似的长方形有2×6，3×9。

　　可以分割出3×9的长方形（见图4）。

　　不能分割出2×6的长方形，因为（2×6）×4=48＜ 6×10。

　　（4）最小的长方形是1×4，与其相似的长方形有2×8，这样的两个长方形都不能分割出来。因为（2×8）×4=64＞6×10，（2×8）×3+（1×4）×1=52＜6×10。

　　（5）最小的长方形是1×5，与其相似的长方形有2×10，这样的两个长方形都不能分割出来。因为（2 ×10）×3=6×10，（2×10）×2+（1×5）×2=50＜ 6×10。

　　（6）同样可以证明不能分割出 1×6、1×7、1×8、1×9、1×10这些长方形。

　　（二）对于2×n、3×n、4×n、5×n形的长方形，按照（一）的分析方法，可以找到一种符合题意的分割方法（见图5）。　

　　也可以把6×10的长方形沿点线分割成其他多边形（见图6）。