A5－011  自然数n的数字和用S（n）来表示．

（1）是否存在一个自然数n，使得n＋s（n）=1980；

（2）证明：在任意两个连续的自然数之中，至少有一个能表示成n＋S（n）的形式，其中n为某个自然数．

【题说】第十四届（1980年）全苏数学奥林匹克八年级题6．

【解】（1）当n=1962时，n＋S（n）=1980．

（2）令S_n=n＋S（n），如果n的末位数字是9，则S_n+1＜S_n；否则S_n+1=S_n＋2．对任意两个连续的自然数m（m≥2），m＋1，在S_n＜m的n中，选择最大的，并用N表示．这时S_N+1≥m＞S_N，所以N的末位数字不是9，从而S_N+1=S_N+2．由m≤S_N+1=S_N+2＜m＋2，即得S_N+1=m或S_N+1=m＋1．

A5－012  设n为≥2的自然数．证明方程xⁿ＋1=yⁿ⁺¹在x与n＋1互质时无正整数解．

【题说】1980年芬兰等四国国际数学竞赛题3．本题由匈牙利提供．

【证】xⁿ=yⁿ⁺¹－1=（y－1）（yⁿ＋y^n-1＋…＋1）．如果质数p是y－1与yⁿ＋y^n-1＋…＋1的公因数，则p整除xⁿ，从而p是x的因数．但y除以p余1，所以yⁿ＋y^n-1＋…＋1除以p与n＋1除以p的余数相同，即n＋1也被p整除，这与x、n＋1互质矛盾．因此y－1与yⁿ＋y^n-1＋…＋1互质，从而y－1=sⁿ，yⁿ＋y^n-1＋…＋1=tⁿ，其中s、t为自然数，st=x．但yⁿ＜yⁿ＋y^n-1＋…＋1＜（y＋1）ⁿ，所以yⁿ＋y^n-1＋…＋1≠tⁿ，矛盾，原方程无解．

A5－013  设a、b、c是两两互素的正整数，证明：2abc－be－ac－ab是不能表示为xbc＋yac＋zab形式的最大整数（其中x、y、z是非负整数）．

【题说】第二十四届（1983年）国际数学奥林匹克题3．

【证】熟知在a、b互素时，对任意整数n有整数x、y，使ax＋by=n．当n＞ab－a－b时，首先取0≤x＜b（若x＞b则用x－b、y＋a代替x、y），我们有

by=n－ax＞ab－a－b－ax≥ab－a－b－a（b－1）=－b

所以y＞－1也是非负整数．即n＞ab－a－b时，有非负整数x、y使ax＋by=n．

因为a、b、c两两互素，所以（bc，ac<FONT style="