B1-017  对任意非空实数集S，令σ(S)为S的元素之和．已知n个正整数的集A，考虑S跑遍A的非空子集时，所有不同和σ(S)的集．证明这些和可以分为n类，每一类中最大的和与最小的和的比不超过2．

【题说】 第二十五届(1996年)美国数学奥林匹克题2

【解】设A={a₁，a₂，…，a_n}，a₁＜a₂＜…＜a_n．令f_j=a₁+a₂+…a_j，e_j=max{a_j，f_j-1}｝，则f_j=f_j-1+a_j≤2e_j(1≤j≤n)．

每个和a_i1+a_i2+…+a_it，i₁＜i₂＜…＜i_t，必在某个区间(f_j-1，f_j]中．因为

a_i1+a_i2+a_it＞f_j-1=a₁+a₂+…a_j-1

所以

i_t≥j

从而

a_i1+a_i2+…+a_it≥a_j

于是a_i1+a_i2+…+a_it∈[e_j，f_j]．

这样σ(S)被分为n个类，在e_j与f_j之间的和为第j类(1≤j≤n)，f_j本身在第j类，而e_j=f_j-1时，e_j不在第j类；e_j＞f_j-1时，e_j在第j类．每一类中最大的和与最小的和的比不超过2．

B1-018  设S={1，2，3，4)，n项的数列：a₁，a₂，…，a_n有下列性质，对于S的任何一个非空子集B(B的元素个数记为｜B｜)，在该数列中有相邻的｜B｜项恰好组成集合B．求n的最小值．

【题说】1997年爱朋思杯――上海市赛决赛题3．

【解】n的最小值为8．

首先证明S中的每个数在数列a₁，a₂，…，a_n中至少出现2次．事实上，若S中的某个数在这个数列中只出现1次，由于含这个数的二元子集共有3个，但在数列中含这个数的相邻两项至多只有两种取法，因而3个含这个数的二元子集不可能都在数列相邻两项中出现．

由此可见n≥8．

另一方面，8项数列：3，1，2，3，4，1，2，4满足条件，因此，所求最小值为8．

B1-019  求两个正整数m与n之间(m＜n)，一切分母为3的既约分数的和．

【题说】1962年成都市赛高三二试题1．

3(n-m)+1

项．其和

但其中整数项的和

故所求之和

S=S₁-S₂=n²-m²

B1-020  证明cos10°是无理数．

【题说】1963年合肥市赛高二二试题3．

【证】利用公式cos3x=4cos³x-3cosx，可得

cos30°=4cos³10°-3cos10°

                                                                                                           (1)

即

若cos10°是一个有理数，则(1)右端为有理数，而左端是一个无理数，矛盾，故cos10°为无理数．

B1-021  求出所有四元实数组(x₁，x₂，x₃，x₄)，使其中任一个数与其余三数积的和等于2．

【题说】第七届(1965年)国际数学奥林匹克题4．本题由原苏联提供．

【解】设x₁x₂x₃x₄=d，则

显然d≤1．有以下五种情况：

所以 d=1，x₁=x₂=x₃=x₄=1．

所以d=1，x₁=x₂=x₃=x₄=1．