一、定义法

　　例1  若方程 只有负数解，则实数a的取值范围是：_________。

　　分析与解  因为方程只有负数解，故 ，原方程可化为：

　　 ，

　　∴ ，

　　即

　　说明  绝对值的意义有两点。其一，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零；其二，在数轴上表示一个点到原点的距离。利用绝对值的定义常可达到去掉绝对值符号的目的。

　　二、利用非负性

　　例2  方程 的图象是（   ）

　　（A）三条直线：

　　（B）两条直线：

　　（C）一点和一条直线：（0，0），

　　（D）两个点：（0，1），（－1，0）

　　分析与解  由已知，根据非负数的性质，得

　　即 或

　　解之得： 或

　　故原方程的图象为两个点（0，1），（－1，0）。

　　说明  利用非负数的性质，可以将绝对值符号去掉，从而将问题转化为其它的问题来解决。

　　三、公式法

　　例3  已知 ，求 的值。

　　分析与解  ，

　　∴原式

　　说明  本题根据公式 ，将原式化为含有 的式子，再根据绝对值的定义求值。

　　四、分类讨论法

　　例4  实数a满足 且 ，那么

　　分析与解  由 可得

　　 且 。

　　当 时，

　　 ；

　　当 时，

　　说明  有的题目中，含绝对值的代数式不能直接确定其符号，这就要求分情况对字母涉及的可能取值进行讨论。

　　五、平方法

　　例5  设实数a、b满足不等式 ，则

　　（A） 且

　　（B） 且

　　（C） 且

　　（D） 且

　　分析与解  由于a、b满足题设的不等式，则有

　　 ，

　　整理得

　　 ，

　　由此可知 ，从而

　　上式仅当 时成立，

　　∴ ，即 且 ，

　　选B。

　　说明  运用此法是先对不等式进行平方去掉绝对值，然后求解。

　　六、图示法

　　例6  在式子 中，由不同的x值代入，得到对应的值。在这些对应值中，最小的值是（   ）

　　（A）1  （B）2  （C）3  （D）4

　　分析与解  问题可变化为：在数轴上有四点A、B、C、D，其对应的值分别是－1、－2，－3、－4，求一点P，使 最小（如图）。

　　由于 是当P点在线段AD上取得最小值3， 是当P在线段BC上取得最小值1，故 的最小值是4。选D。

　　说明  由于借助图形，巧妙地把问题在图形中表示出来，形象直观，便于思考，从而达到快捷解题之目的。

　　七、验证法

　　例7  是一个含有4重绝对值符号的方程，则（   ）

　　（A）0、2、4全是根
（B）0、2、4全不是根

　　（C）0、2、4不全是根

　　（D）0、2、4之外没有根

　　分析与解  从答案中给出的0、2、4容易验证都是方程的根，并且通过观察得知－2也是一根，因此可排除B、C、D，故选A。

　　说明  运用此法是从题干出发，取符合题意的某些特殊值或特殊图形，与选择支对照检验，从而判定各个选择支的正误。

　　八、代数式零点法

　　例8  的最小值是_________。

　　分析与解  由 可确定零点为－1、2、3。

　　当 时，

　　原式 ；

　　当 时，

　　原式 ；

　　当 时，

　　原式 ；

　　当 时，

　　原式

　　综上知所求最小值为4。

　　说明  运用此法解决含字母代数式绝对值化简方法是：（1）先求代数式零点，把数轴分为若干区间；（2）判定各区间内代数式的正负号；（3）依据绝对值的定义，去掉绝对值符号。

　　九、数形结合法

　　例9  已知二次函数 的图象如图所示，并设 ，则（   ）

　　（A）   （B）   （C）   （D）不能确定M为正、负或为0

　　分析与解  令 中 ，由图象得： ；

　　令 得

　　∵顶点在第四象限，

　　∴顶点的横坐标

　　又 ，

　　而 ，

　　∴ ，即

　　故

　　选C。

　　说明  运用此法是将抽象思维和形象思维结合起来，达到以形助数，以数助形，可以使许多复杂问题获得简便的解决。

　　十、组合计数法

　　例10  方程 ，共有几组不同整数解

　　（A）16  （B）14  （C）12  （D）10

　　分析与解  由已知条件可得

　　当 时， ；

　　当 时， ；

　　当 时， ；

　　当 时， 。

　　共有12组不同整数解，故选C。

　　说明  此法具有较强的技巧性，必须认真分析条件，进行分类、归纳，从中找出解决问题的方法。

　　十一、枚举法

　　例11  已知a为整数， 是质数，试确定a的所有可能值的和。

　　分析与解  设 是质数p，则 仅有因子±1及 。

　　当 时，

　　 ，此时， ；

　　当 时，

　　 ，此时， ；

　　当 时，

　　 ，此时， ；

　　当 时，

　　 ，此时，

　　∴当a取整数－1、－2、5、4时， 是质数， 即a的所有可能值的和为6。

　　说明  运用此法是指在题目条件的范围内，将可能的情况一一列举出来，然后通过比较、检验进行筛选，最终确定结果。