A4－001  证明：当且仅当指数n不能被4整除时，1ⁿ＋2ⁿ＋3ⁿ＋4ⁿ能被5整除．

【题说】1901年匈牙利数学奥林匹克题1．

【证】容易验证1⁴≡2⁴≡3⁴≡4⁴ （mod 5）

假设n=4k＋r，k是整数，r=0，1，2，3．则

S_n=1ⁿ＋2ⁿ＋3ⁿ＋4ⁿ≡1^r＋2^r＋3^r＋4^r（mod 5）

由此推出，当r=0时，S_n≡4，而当r=1，2，3时，S_n≡0（mod 5）．因此，当且仅当n不能被4整除时，S_n能被5整除．

A4－002  证明：从n个给定的自然数中，总可以挑选出若干个数（至少一个，也可能是全体），它们的和能被n整除．

【题说】1948年匈牙利数学奥林匹克题3．

【证】设a₁，a₂，…，a_n是给定的n个数．考察和序列：a₁，a₁＋a₂，a₁＋a₂＋a₃，…，a₁＋a₂＋…＋a_n．

如果所有的和数被n除时余数都不相同，那么必有一个和数被n除时余数为0．此时本题的断言成立．

如果在n个和数中，有两个余数相同（被n除时），那么从被加项较多的和数中减去被加项较少的和数，所得的差能被n整除．此时本题的断言也成立．

A4－003  1．设n为正整数，证明13²ⁿ－1是168的倍数．

2．问：具有那种性质的自然数n，能使1＋2＋3＋…＋n整除1?2?3…?n．

【题说】1956年上海市赛高三复赛题1．

【解】1．13²ⁿ－1=（13²）ⁿ－1，能被13²－1，即168整除．

2．问题即

何时为整数．

（1）若n＋1为奇质数，则

（n＋1） 2（n－1）！

（2）若n＋1=2，则

（n＋1）|2（n－1）！

（3）若n＋1为合数，则

n＋1=ab

其中a≥b＞1．

在b=2时，a=n＋1－a≤n－1，所以

a|（n－1）！，（n＋1）|2（n－1）！

在b＞2时，2a≤n＋1－a＜n－1，所以

2ab|（n－1）！

更有                                      （n＋1）|2（n－1）！

综上所述，当n≠p－1（p为奇质数）时，1＋2＋…＋n整除1?2…?n．

A4－004  证明：如果三个连续自然数的中间一个是自然数的立方，那么它们的乘积能被504整除．

【题说】 1957年～1958年波兰数学奥林匹克三试题1．

【证】设三个连续自然数的乘积为n=（a³－1）a³（a³<FONT style="FONT-FAMILY: 宋体; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-hansi-f