A1－008 将某个17位数的数字的顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加．证明：得到的和中至少有一个数字是偶数．

【题说】 第四届（1970年）全苏数学奥林匹克八年级题 4．

【证】 假设和的数字都是奇数．在加法算式

中，末一列数字的和d＋a为奇数，从而第一列也是如此，因此第二列数字的和b＋c≤9．于是将已知数的前两位数字a、b与末两位数字c、d去掉，所得的13位数仍具有性质：将它的数字颠倒，得到的数与它相加，和的数字都是奇数．照此进行，每次去掉首末各两位数字．最后得到一位数，它与自身相加显然是偶数．矛盾！

因此，和的数字中必有偶数．

A1－009 证明：如果p和p＋2都是大于3的素数，那么6是p＋1的因数．

【题说】 第五届（1973年）加拿大数学奥林匹克题 3．

【证】 因为p是奇数，所以2是p＋1的因数．

因为p、p＋1、p＋2除以 3余数不同，p、p＋2都不被 3整除，所以p＋1被 3整除．

于是6是p＋1的因数．
 A1－010 证明：三个不同素数的立方根不可能是一个等差数列中的三项（不一定是连续的）．

【题说】 美国第二届（1973年）数学奥林匹克题5．

【证】 设p、q、r是不同素数．假如有自然数l、m、n和实数a、d，

消去a，d，得

化简得（m－n）³p＝（l－n）³q＋（m－l）³r＋3（l－n）（m

原命题成立．
  A1－011 设n为大于2的已知整数，并设V_n为整数1＋kn的集合，k＝1，2，…．数m∈V_n称为在 V_n中不可分解，如果不存在数p，q∈V_n使得 pq＝m．证明：存在一个数r∈V_n可用多于一种方法表达成V_n中不可分解的元素的乘积．

【题说】 第十九届（1977年）国际数学奥林匹克题3．本题由荷兰提供．

【证】 设a＝n－1，b＝2n－1，则a²、b²、a²b²都属于V_n．因为a²＜（n＋1）²，所以a²在V_n中不可分解．

式中不会出现a²．

r＝a²b²有两种不同的分解方式：r＝a²?b²＝a²…（直至b2分成不可分解的元素之积）与r＝ab?ab＝…（直至ab分成不可分解的元素之积），前者有因数a²，后者没有．

A1－012 证明在无限整数序列

10001，100010001，1000100010001，…

中没有素数．

注意第一数（一万零一）后每一整数是由前一整数的数字连接0001而成．

【题说】 1979年英国数学奥林匹克题 6．

【证】 序列 1，10001，100010001，…，可写成

1，1＋10⁴，1＋10⁴＋10⁸，…

一个合数．

即对n＞2，a_n均可分解为两个大于1的整数的乘积，而a₂＝10001＝137?73．故对一切n≥2，a_n均为合数．

A1－013 如果一个自然数是素数，并且任意地交换它的数字，所得的数仍然是素数，那么这样的数叫绝对素数．求证：绝对素数的不同数字不能多于3个．

【题说】 第十八届（1984年）全苏数学奥林匹克八年级题 8．

【证】 若不同数字多于 3个，则这些数字只能是1<FONT style=