小学五年级奥数第五讲——还原问题

　　还原问题是指题目给出的是一个数经过某些变化后的结果，要求原来的数的问题。解答这一类的问题时，要根据题意，从所给的结果出发，抓住逆运算关系，由后向前一步步逆推（倒推法、还原法），做相反的运算，逐步靠拢已知条件，直到问题得到解决。在解答还原问题时，如果列综合算式，要注意括号的正确使用。

　　典型例题

　　例【1】三（1）班小图书箱第一天借出了存书的一半，第2天又借出43本，还剩32本。小图书箱原有图书多少本？

　　分析经过两天借出图书，小图书最后还剩32本书。由此可以往前推算：第2天没借出43本前（也就是第1天借出图书后），应有（32＋43）本书，再根据“第1天借出了存书的一半”，可推算出这75本书也就是第1天借出后的另一半，即相当于第1天借出的本数。这样，小图书箱原有的图书本数可求得。

　　解第1天借书后还剩的本数：32＋43＝75（本）

　　原有图书的本数：75×2＝150（本）

　　综合算式：（32＋43）×2＝150（本）

　　答：小图书箱原有图书150本。

　　例【2】某数加上5，乘以5，减去5，除以5，其结果等于5。求这个数。

　　分析从后往前推，原来是加法，推回去是减法；原来是减法，推回去是加法；原来是乘法，推回去是除法；原来是除法，推回去是乘法。从最后一步推起，“除以5，其结果等于5”可以求出被除数：5×5＝30；再看倒数第2步，“减去5”得25，可以求出被减数：25＋5＝30；然后看倒数第3步，“乘以5”得30，可以求出被乘数：30÷5＝6；最后看第1步，“某数加上5”得6，某数为6－5＝1。

　　解5×5＝25

　　25＋5＝30

　　30÷5＝6

　　6－5＝1

　　答：所求的数为1。

　　例【3】小明在做一道加法算式题，由于粗心，将个位上的5看作9，把十位上的8看作3，结果所得的和是123。正确的结果应是多少？

　　分析要求正确的和，就要知道两个正确的加数。看错的加数是39，因此得到错误的和是123。根据逆运算可得到一个没看错的加数是123－89＝84，题中已知一个正确的加数是85，所以正确的和是85＋84＝169

　　把个位上的5看作9，相当于把正确的和多算了4，求正确的和应把4减去；把视为上的8看作3，相当于把正确的和少算了50，求正确的和应把50加上去。这样，正确的答案123＋50－4＝169。

　　解一123－39＋85

　　＝84＋85

　　＝169

　　解二9－5＝4

　　80－30＝50

　　123＋50－4＝169

　　答：正确的答案是169。

　　例【4】少年宫悬挂着编号为1--200个彩色灯泡，这些灯泡全部亮着，首先拉一下编号为2的倍数的灯泡，再拉一下编号为3的倍数的灯泡，最后拉一下编号为5的倍数的灯泡，这样拉三下后，明亮的灯泡有多少个？

      容斥原理    
2的倍数的灯泡，有１００个
编号为3的倍数的灯泡有６６
编号为5的倍数的灯泡有４０个
但是有重复的，这样拉三下后，明亮的灯泡有２００－１００－６６／２－１３＝５４
为什么要减13呢？
2的倍数+3的倍数+5的倍数-6的倍数-15的倍数-10的倍数+30的倍数