13.如图所示,A、B、C分别代表面积为8、9、11的三张不同形状的纸片,它们重叠放在一起盖住的面积是18,且A与B,B与C,C与A公共部分的面积分别是5、3、4,求A、B、C三个图形公共部分(阴影部分)的面积.

14.分母是385的最简真分数有多少个,并求这些真分数的和.

———————————————答 案——————————————————————

    1.  26

从图中可以看出全班45人,借语文或数学课外读物的共39+32=71(人),超过全班人数71-45=26(人),这26人都借了语文、数学两种课外书。

2．  67

将长方形和正文形面积相加，则图中阴影部分即三角形面积被多算了一次，即这两个图形盖住的图形面积为 (平方厘米).

3.  32

在1到100这100个自然数中,5的倍数有20个,7的倍数有14个,既是5的倍数又是7的倍数有2个,故5的倍数或7的倍数的个数是20+14-2=32.

4.  45

从图中可以看出:懂俄语的人数(即阴影部分)等于总人数减去只懂英语的人数,即100-(75-20)=45(人)

5.  19

所求人数=全班人数-(会骑车人数+会游泳人数-既会骑车又会游泳人数)=46-(17+14-4)=19(人)

6.  6857

在1到10000中,能被5整除的有 (个),能被7整除的有 (个),能被35整除的有 (个).因此能被5或7整除的共有2000+1428-285=3143(个).从而不能被5或7整除的有10000-3143=6857(个).

7.  9883

1~10000中完全平方数有100个(因为100²=10000),完全立方数有21个(因为21³<10000<22³),完全六次方数有4个(因为4⁶<10000<5⁶)

故1~10000中是完全平方数或完全立方数的数共有100+21-4=117个;从而既不是完全平方数,又不是完全立方数的数有10000-117=9883(个).

8.  4

9.  720

1~1001中,有7的倍数 (个);有11的倍数 (个),有13的倍数 (个);有7´11=77的倍数 (个),有7´13=91的倍数 (个),有11´13=143的倍数 (个).有1001的倍数1个.

由容斥原理知:在1~1001中,能被7或11或13整除的数有(43+91+7)-(13+11+7)+1=281(个),从而不能被7、11或13整除的数有1001-281=720(个).也就是说,分母为1001的最简分数有720个.

10.  31,56

如图,当100人都是或者音乐爱好者,或者体育爱好者时,这两者都爱好的人数为最小值即56+75-100=31(个).

当所有的音乐爱好者都是音乐爱好者时,这两者都爱好的人数最大可为56人.

11.        如图,选甲乙而不选丙的有a=29-24=5(人),选甲丙而不选乙的b=28-

24=4(人),选乙丙而不选甲的有c=26-24=2(人), 仅选了丁的人有d=35-24-a-c=4(人),仅选了丙的人有e=31-24-b-c=1(人),故少选了一科的人数是:甲+d+c+e=45(人),故三门均未选的人数为50-45=5(人).

12.  由第9题的结论知分母是1001的最简分数的个数是720.又真分数 和真分数  (a与1001互质)是成对出现的,故上述720个真分数可以分成360对,每一对=数之和为1,故上述720个分母是1001的真分数之和为360.

所以所有小于1001且与1001互质的数之和为360´1001=360360.

13.        设阴影部分的面积是x,由容斥原理知28-(5+3+4)+x=18,故x=2.

14.        因为385=5´7´11,故在1~385这385个自然数中,5的倍数有

(个),7的倍数有 (个),11的倍数有 (个),                       5´7=35的倍数有 (个),5´11=55的倍数有 (个),7´11=77的倍数有 =5(个),385的倍数有1个.

由容斥原理知,在1~385中能被5、7或11整除的数有77+55+35-(11+7+5)+1=145(个),而5、7、11互质的数有385-145=240(个).即分母为385的真分数有240(个).

如果有一个真分数为 ,则必还有另一个真分数 ,即以385为分母的最简真分数是成对出现的,而每一对之和恰为1.故以385为分母的240最简分数可以分成120时,它们的和为1´120=120.