三、定义新运算（一）

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一、填空题

    1.规定a☉b = ,则2☉(5☉3)之值为      .

2.规定“※”为一种运算,对任意两数a,b,有a※b ,若6※x ,则x=

      .

3.设a,b,c,d是自然数,定义 .则

  3, 4, 1, 2      .

    4.[A]表示自然数A的约数的个数.例如,4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算: =        .

    5.规定新运算※:a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,则x=        .

    6.两个整数a和b,a除以b的余数记为a☆b.例如,13☆5=3,5☆13=5,12☆4=0.根据这样定义的运算,(26☆9) ☆4=        .

7.对于数a,b,c,d规定 .如果 ,

那么x=      .

8.规定:6※2=6+66=72,2※3=2+22+222=246,

  1※4=1+11+111+1111=1234.7※5=     .

    9.规定:符号“△”为选择两数中较大数,“☉”为选择两数中较小数.例如:3△5=5,3☉5=3.那么,[(7☉3)△5]×[5☉(3△7)]=        .

    10.假设式子 表示经过计算后,a的值变为原来a与b的值的积,而式子 表示经过计算后,b的值为原来a与b的值的差.设开始时a=2,b=2,依次进行计算 , , , ,则计算结束时,a与b的和是         .

二、解答题

    11.设a,b,c,d是自然数,对每两个数组(a,b),(c,d),我们定义运算※如下: (a,b)※(c,d)= (a+c,b+d);又定义运算△如下: (a,b)△(c,d)= (ac+bd,ad+bc).试计算((1,2) ※(3,6))△((5,4)※(1,3)).

    12.羊和狼在一起时,狼要吃掉羊,所以关于羊及狼,我们规定一种运算,用符号△表示羊△羊=羊;羊△狼=狼;狼△羊=狼;狼△狼=狼.运算意思是羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,但是狼与羊在一起便只剩下狼了.

      小朋友总是希望羊能战胜狼,所以我们规定另一种运算,用符号☆表示为羊☆羊=羊;羊☆狼=羊;狼☆羊=羊;狼☆狼=狼.运算意思是羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,由于羊能战胜狼,当狼与羊在一起时,它便被羊赶走而只剩下羊了.

      对羊或狼,可用上面规定的运算作混合运算,混合运算的法则是从左到右,括号内先算.运算的结果是羊,或是狼.求下式的结果:

      羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼).

    13. 表示成 ;

   表示成 .

   试求下列的值:

   (1)         ;  (2) ;  (3) ;

   (4)如果x, y分别表示若干个2的数的乘积,试证明: .

    14.两个不等的自然数a和b,较大的数除以较小的数,余数记为a☉b,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2.

(1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5;

(2)已知11☉x=2,而x小于20,求x;

(3)已知(19☉x)☉19=5,而x小于50,求x.

———————————————答 案——————————————————————

1.  .

5☉3= ,

2☉(5☉3)=2☉ .

2.  8.

依题意,6※ ,因此 ,所以x=8.

3.  280.

原式 .

4.  5.

因为 有 个约数,所以[18]=6,同样可知[22]=4,[7]=2.

原式 .

5.  9.

因为4※1= ,所以x※(4※1)= x※10=3x-20.故3x-20=7,解得x=9.

6.  0.

,26☆9=8,又 ,故(26☆9)☆4=8☆4=0.

7.  6.

因为 ,所以 ,故 .

8.  86415.

7※5=7+77+777+7777+77777=86415.

9.  25.

原式=[3△5]×[5☉7]=5×5=25.

10.  14.

     第1次计算后, ;第2次计算后, ;第3次计算后, ;第4次计算后, .此时 .

11.  (1,2)※(3,6)=(1+3,2+6)=(4,8),(5,4)※(1,3)=(5+1,4+3)=(6,7).

     原式=(4,8)△(6,7)=(4×6+8×7,4×7+8×6)=(80,76).

12.  原式=羊△羊☆羊△狼=羊☆羊△狼=羊△狼=狼.

13.  (1) ;

     (2) ;

     (3)因为 ,所以 ;

     (4)令 则 .

        .

14.  (1)1991☉2000=9;

      由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3;

      由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.

     (2)我们不知道11和x哪个大(注意,x≠11),即哪个作除数,哪个作被除数,这样就要分两种情况讨论.

        1) x<11,这时x除11余2, x整除11-2=9.又x≥3(因为x应大于余数2),所以x=3或9.

        2) x>11,这时11除x余2,这说明x是11的倍数加2,但x<20,所以x=11+2=13.

        因此(2)的解为x=3,9,13.

     (3)这个方程比(2)又要复杂一些,但我们可以用同样的方法来解.

        用y表示19☉x,不管19作除数还是被除数,19☉x都比19小,所以y应小于19.

        方程y☉19=5,说明y除19余5,所以y整除19-5=14,由于y≥6,所以y=7,14.

        当y=7时,分两种情况解19☉x=7.

        1)x<19,此时x除19余7,x整除19-7=12.由于x≥8,所以x=12.

        2) x>19,此时19除x余7, x是19的倍数加7,由于x<50,所以x=19+7=26或 =45.

        当y=14时,分两种情况解19☉x=14.

        1) x<19,这时x除19余14, x整除19-14=5,但x大于14,这是不可能的.

        2)x>19,此时19除x余14,这就表明x是19的倍数加14,因为x<50,所以x=19+14=33.

        总之,方程(19☉x)☉19=5有四个解,x=12,26,33,45.