三、定义新运算（二）

            年级      班      姓名      得分    

一、填空题

    1.规定:a※b=(b+a)×b,那么(2※3)※5=        .

2.如果a△b表示 ,例如3△4 ,那么,当a△5=30时, a=          .

3.定义运算“△”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12=         .

    4.已知a,b是任意有理数,我们规定: a⊕b= a+b-1, ,那么            .

5.x为正数,<x>表示不超过x的质数的个数,如<5.1>=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是        .

    6.如果a⊙b表示 ,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,当x⊙5比5⊙x大5时, x=        .

    7.如果1※4=1234,2※3=234,7※2=78,那么4※5=        .

8.我们规定:符号○表示选择两数中较大数的运算,例如:5○3=3○5=5,符号△表示选择两数中较小数的运算,例如:5△3=3△5=3.

    9.规定一种新运算“※”: a※b= .如果(x※3)※4=421200,那么x=           .

10.对于任意有理数x, y,定义一种运算“※”，规定:x※y= ,其中的 表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道1※2=3,2※3=4,x※m=x(m≠0),则m的数值是         .

二、解答题

11.设a,b为自然数,定义a△b .

    (1)计算(4△3)+(8△5)的值;

(2)计算(2△3)△4;

(3)计算(2△5)△(3△4).

12.设a,b为自然数,定义a※b如下:如果a≥b,定义a※b=a-b,如果a<b,则定义a※b= b- a.(1)计算:(3※4)※9;(2)这个运算满足交换律吗?满足结合律吗?也是就是说,下面两式是否成立?①a※b= b※a;②(a※b)※c= a※(b※c).

    13.设a,b是两个非零的数,定义a※b .

(1)计算(2※3)※4与2※(3※4).

    (2)如果已知a是一个自然数,且a※3=2,试求出a的值.

14.定义运算“⊙”如下:

对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a⊙b.

比如:10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则10⊙14=70-2=68.

(1)求12⊙21,5⊙15;

(2)说明,如果c整除a和b,则c也整除a⊙b;如果c整除a和a⊙b,则c也整除b;

(3)已知6⊙x=27,求x的值.

———————————————答 案——————————————————————

1.  100.

因为2※3=(3+2)×3=15,所以(2※3)※5=15※5=(5+15)×5=100.

2.  8.

依题意,得 ,解得 .

3.  42.

18△12=(18,12)+[18,12]=6+36=42.

4.  98.

    原式

5.  11.

<19>为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,19共8个.<93>为不超过的质数,共24个,易知<1>=0,所以

原式=<<19>+<93>>=<8+24>=<32>=11.

6.  6.

x⊙5-5⊙x=(3 x-2×5)-(3×5-2 x)=5 x-25,由5 x-25=5,解得x=6.

7.  45678.

8.  .

因为 ○ ○ ,0.625△ △ ,

△ △ , ○ ○ ,

所以,原式 .

9.  2.

令x※3=y,则y※4=421200,

又421200 ,

所以y=24,即x※3=24.

又24= ,故x=2.

10.  4.

     由题设的等式x※y= 及x※m=x(m≠0),得

       ,

     所以bm=0,又m≠0,故b=0.因此x※y=ax-cxy.

     由1※2=3,2※3=4,得   解得a=5,c=1.

     所以x※y=5x-xy,令x=1,y=m得5-m=1,故m=4.

11.  (1)原式 ;

     (2)原式 △4=7△4= ;

     (3)原式 △ △13

            .

12.  (1)原式=(4-3)※9=1※9=9-1=8;

     (2)因为表示a※b表示较大数与较小数的差,显然a※b= b※a成立,即这个运算满是交换律,但一般来说并不满足结合律,例如:(3※4)※9=8,而3※(4※9)=3※(9-4)=3※5=5-3=2.

13.  (1)按照定义有2※3 ,3※4 .

        于是(2※3)※4 ※4= .

         2※(3※4)=2※ .

     (2)由已知得      ①

        若a≥6,则 ≥2,从而 与①矛盾.因此a≤5,对a=1,2,3,4,5这5个可能的值,一一代入①式中检查知,只有a=3符合要求.

14.  (1)为求12⊙21,先求出12与21的最小公倍数和最大公约数分别为84,3,因此12⊙21=84-3=81,同样道理5⊙15=15-5=10.

     (2)如果c整除a和b,那么c是a和b的公约数,则c整除a,b的最大公约数,显然c也整除a,b最小公倍数,所以c整除最小公倍数与最大公约的差,即c整除a⊙b.

       如果c整除a和a⊙b,由c整除a推知c整除a,b的最小公倍数,再由c整除a⊙b推知, c整除a,b的最大公约数,而这个最大公约数整除b,所以 c整除b.

     (3)由于运算“⊙”没有直接的表达式,解这个方程有一些困难,我们设法逐步缩小探索范围.

        因为6与x的最小公倍数不小于27+1=28,不大于27+6=33,而28到33之间,只有30是6的倍数,可见6和x的最小公倍数是30,因此它们的最大公约数是30-27=3.

        由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积”,得到 .

        所以 .