一次数学竞赛，准备了35支铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的同学。原打算发给每个获一等奖的人6支铅笔，发给每个获二等奖的人3支铅笔，发给每个获三等奖的人2支铅笔。后来改为发给每个获一等奖的人13支铅笔，发给每个获二等奖的人4支铅笔，发给每个获三等奖的人1支铅笔。那么，在这次数学竞赛中获得一、二、三等奖的各有多少人？
分析与解 由题意可以知道，这次数学竞赛获得一、二、三等奖的人数总和前后是不变的。尽管改变了发奖办法，但是奖品总数还是35支铅笔。
根据“后来发给每个获一等奖的人13支铅笔”可以得出，获一等奖的只能是2人或者是1人，要是3人，那么35支铅笔只发给获一等奖的都不够。
假设获一等奖的是2人，按改变后的发奖方案，这2人共得到26支铅笔，还剩下35-26=9支铅笔，发给获二、三等奖的同学。假设获二等奖的也是2人，每人发4支铅笔后还剩9-4×2=1支铅笔，那么这1支铅笔只能发给获三等奖的1人。
用原来的发奖方案验算一下，获一等奖的有2人，要发给12支铅笔，获二等奖的有2人，要发给6支铅笔，这时还剩下35—12—6=17支铅笔。获三等奖的有1人，每人要发2支铅笔，这样就会剩下15支铅笔。显然，获一等奖的不是2人，获二等奖的也不是2人，获三等奖的更不是1人了。
假设获二等奖的是1人，这样还剩下9—4=5支铅笔发给获三等奖的同学，那么获三等奖的就是5人。这样按原方案发奖后还要剩下35—6×2—3—2×5=10支铅笔。由此可见，获一等奖的不可能是2人。
既然获一等奖的不是2人，那么获一等奖的肯定是1人了。按照后来的发奖方案发给获一等奖的1人13支铅笔后，还剩下35-13=22支铅笔，要发给获得二、三等奖的同学，这样可以算出获二、三等奖的人数如下表。
再用原定的发奖方案验证一下，获一等奖的有1人，这样还剩下35—6=29支铅笔，要发给获得二、三等奖的同学。按照上表获得二等奖的人数，看看获得三等奖的有几人。结果如下表。
比较上面两表就可得出，获得二等奖的有3人，获得三等奖的有10人。
答：在这次数学竞赛中，获一等奖的有1人，获二等奖的有3人，获三等奖的有10人。
