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　　·本周试题由学而思奥数名师徐研精选、解析，以保证试题质量。

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　　·每道题的答题时间不应超过15分钟。

　　难度：★★★★

　　小学五年级奥数天天练：火柴

　　有两堆火柴，两人轮流从其中任意一堆中取出1根或几根，每次至少要取出1根，而且不能同时从两堆里取，谁最后把火柴取完，谁就获胜，问如何能确保获胜？


　　解答： 先考虑最简单的特殊情况：

　　（1）如果两堆火柴都只有1根，当然后取者必胜；

　　（2）如果两堆火柴是一堆1根，一堆2根，即（1，2），这时可以看出先取者必胜.因为先取者从2根一堆的火柴中取走1根，给对方留下（1，1），成为第（1）种情况即可取胜；

　　（3）如果两堆火柴是（2，2），若先取者从一堆中取走1根，给对方留下（1，2），成为第（2）种情况必败；若先取者从一堆中取走2根，给对方留下（0，2），也必败.

　　从上面的讨论中，可以发现两点：第一，如果两堆火柴的根数相等，先取者必败，因为这时不管先取者从一堆中取走几根火柴，后取者都可以相应地在另一堆中也取走相同根数的火柴，总保持给先取者留下相同根数的两堆火柴，以至最后留下（1，1）而获胜.第二，如果两堆火柴的根数不等，则先取者在多的一堆中，取走两堆相差的火柴根数，给对方留下根数相等的两堆火柴，以确保获胜.

　　因此，必胜的策略是：

　　（1）若两堆火柴的根数相等，则采取下列措施：

　　①让对方先取；

　　②每次对方在一堆中取走几根火柴，你就在另一堆中也取走几根火柴.

　　这样，最后的一根火柴一定是你取走.

　　（2）若两堆火柴的根数不等，则采取下列措施：

　　①先从多的一堆中取走两堆相差的火柴根数，给对方留下数量相等的两堆火柴；

　　②按照（1）的方法取胜.

　　这里用到的数学原理是数学对称.由于两堆火柴数相同的形式是一种对称形式，而两堆火柴数不同的形式是一种不对称形式，因此你每次取火柴后，两堆火柴都呈现对称形式，而对方每次取火柴后，两堆火柴都是不对称形式.故最后的对称形式（两堆火柴数均为零）必由你取得.

　　实际上，例2的解答也利用了对称原理.你要想获胜，就始终保持每次给对方留下m×m（m是自然数）的对称形式，而对方只能给你留下m×n（m＞n，m、n是自然数）的不对称形式，以至最后的对称形式（0×0）是你留下的.




　　难度：★★★★★

　　
　　小学五年级奥数天天练：数字推理

　　有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7，从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字.问在这一串数中，会依次出现1、9、8、8这四个数吗？


　　解答 先按题目中的要求，在1、9、8、7这4个数字的后面写出一些数来，便可得出下列的数串：

　　1，9，8，7，5，9，9，0，3，1，3，7，4，…

　　这串数单从数字看乱七八糟，又因为按要求可以无限写下去，所以不能采用直接写的方法来解这题.可是如果把这串数按奇、偶数来分类，可得下面数串：

　　奇，奇，偶，奇，奇，奇，奇，偶，奇，奇，奇，奇，偶，…

　　（奇、偶分别代表奇数与偶数）

　　我们来分析这串数有什么规律.根据奇数加奇数和是偶数，奇数加偶数和是奇数，可以推出第五、六、七个数全是奇数，第八个数是偶数.再利用第五、六、七、八这四个数的奇偶性，又可推出第九、十、十一、十二个数又全是奇数，第十三个数又是偶数，…….这一来，便发现这串数从第四个数开始，以后各数按四个奇数一个偶数的规律循环排列着，而1、9、8、8是两个奇数接两个偶数，所以数串中不会出现1、9、8、8这四个数.