六年级奥数余数练习题及解析
各种与余数有关的整数问题,其中包括求方幂的末位数字,计算具有规律的多位数除以小整数的余数，以及用逐步试算法找出满足多个余数条件的最小数等.
例一.号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?
【分析与解】 因为两个数和的余数同余与余数的和.
有101,126,173,193除以3的余数依次为2,0,2,1.则101号运动员与126,173,193号运动员依次进行了2,1,0盘比赛,共3盘比赛;126号运动员与101,173,193号运动员依次进行了2,2,l盘比赛,共5盘比赛;173号运动员与101,126,193号运动员依次进行了1,2,0盘比赛,共3盘比赛;193号运动员与101,126,173号运动员依次进行了0,1,0盘比赛,共1盘比赛.所以,打球盘数最多的运动是126号,打了5盘.
评注:两个数和的余数,同余与余数的和;两个数差的余数,同余与余数的差;两个数积的余数,同余与余数的积.
例五.将1,2,3，…,30从左往右依次排列成一个51位数,这个数被11除的余数是多少?
【分析与解】 1,2,3,…,30这30个数从左往右依次排列成一个51位数为：123456…910…15…19202l…25…2930记个位为第l位,十位为第2位,那么：它的奇数位数字和为:0+9+8+7+6+…+l+9+8+7+6+…+1+9+7+5+3+l=115：它的偶数位数字和为:
;它的奇数位数字和与偶数位数字和的差为115—53：62.而62除以1l的余数为7.
所以将原来的那个51位数增大4所得到的数123456…910…15…192021…25…2934就是1l倍数,则将123456…910…15…192021…25…2934减去4所得到数除以11的余数为7.即这个51位数除以11的余数是7.
评注:如果记个位为第1位,十位为第2位,那么一个数除以11的余数为其奇数位数字和A减去偶数位数字和B的差A-B=C,再用C除以1l所得的余数即是原来那个数的余数.(如果减不开可将偶数位数字和B减去奇数位数字和A,求得B-A=C,再求出C除以1l的余数D,然后将11-D即为原来那个数除以11的余数).
如:123456的奇数位数字和为6+4+2=12,偶数位数字和为5+3+1=9,奇数位数字和与偶数位数字和的差为12-9=3,所以123456除以11的余数为3.
又如:654321的奇数位数字和为1+3+5=9,偶数位数字和为2+4+6=12,奇数位数字和减不开偶数位数字和,那么先将12-9=3,显然3除以11的余数为3,然后再用11-3=8,这个8即为654321除以11的余数.
