14.设 …, 是任意互异的12个整数,试证明其中一定存在8个整数 …, ,使得: 恰是1155的倍数.

———————————————答 案——————————————————————

1.  6

将42名同学看成42个抽屉,因为212=5´42+1,故至少有一个抽屉中有6本或6本以上的书.

2.  18

因210=17´12+16,故一定有18个或18个以上同学在同一月出生.

3.  2

这40名同学的年龄最多相差36个月(三年)因40=1´36+4,故必有2人是同年、同月出生的.

4.  5

从极端考虑:即使先取走取的4个球都是不同色的,那么取第5个球时就必有二球同色了.

5.  21

将球按颜色分成4类,每次各取5个时,也无6球同色,故应取(6-1)´4+1=21(个)球,才能保证一定有6球同色.

    6.  21

将布袋中的木块按编号分成60¸6=10(类)要保证其中某一类至少有三个,至少应拿出(3-1)´10+1=21(块).

7.  6

每箱数目是120~144,共有25种可能.因126=5´25+1,故至少有5+1=6(个)装相同苹果数的箱子,即n最小为6.

8.  11

当摸出10根时,可能是8根黑筷,白筷,红筷各一根,没有“不同颜色的二双”.当摸出11根时,至多有8根属于同一颜色,那么另3根中至少有二根是同色的.

9.  23

当摸出22只球时,可能有9对同色球,但剩余四球分别为红、蓝、黄、白各一只,达不到10对,另一方面,每摸出5个球,就会出现一对同色球,将这一对挪开,再摸出两个球,就必然会又出现一对红色球,如此下去,摸出23只球就能保证有10对同色球.

10.  11

两支笔的种类可分为同色与异色.同色的有4种,异色的有3+2+1=6种,为了保证至少有两次抓到笔的种类完全相同,至少要抓1´10+1=11(次).

11.  浏览一个地方的,有3种,浏览二个地方的,有3种,浏览三个地方的,有1种,一个地方也不去的,有1种,共有8种方式.故至少有 (人).浏览的地方是完全相同的.

12.  给出的数是一个等差数列,它一共有25个数,将这25个组分成13组: .

在这25个数中任取14个数来,必有二数属于上述13组中的同一组,故这一组二数之和是102.

13.         如图,将三角形三边中点连结起来,就将原三角形分成了四个小三角

形, 其边长均为 ,在原三角形内,任意给5个点,其中至少有两点在同一个小三角形内,这两点的距离小于小三角形的边长 .

    14.  对1155分解质因数得1155=3´5´7´11.

在所给的12数中,必有2数除以11,余数相同,设这2数为x₁,x₂,则(x₁-x₂)是11的倍数.

在剩下的数中,必有2数除以7,余数相同,设这2数为x₃,x₄,则(x₃-x₄)是7的倍数.

在剩下的8数中,必有2数除以5,余数相同,设这2数为x₅,x₆,则(x₅-x₆)是5的倍数.

在剩下的6数中,必有2数除以3,余数相同,设这二数为x₇,x₈,则(x₇-x₈)是3的倍数.

故存在8个数x₁,x₂,…x₈,使(x₁-x₂) (x₃-x₄) (x₅-x₆) (x₇-x₈)是1155的倍数.